Fizyka matematyczna i teoria ergodyczna układów sieciowych - model Isinga, kwazikryształy 1000-1M22MIK

Wykład poświęcony będzie badaniu matematycznych modeli układów oddziaływujących cząstek umieszczonych w węzłach regularnych sieci. Jako przykład ilustrujący istnienie magnesów przedstawiony zostanie model Isinga oddziałujących spinów. Udowodnimy spontaniczne złamanie symetrii - istnienie przejścia fazowego.

Przedyskutujemy 18. problem Hilberta i jego związki z kwazikryształami - mikroskopowymi modelami oddziałujących cząstek, dla których minimum funkcjonału energii osiągane jest tylko dla nieokresowych konfiguracji. Przedstawione zostaną nieokresowe parkietaże płaszczyzny i ich związki z teorią ergodyczną symbolicznych układów dynamicznych. Zajmiemy się też układami jednowymiarowymi - ciągami Thue-Morse'a i Fibonacciego i ogólnie układami Sturma.

Zaprezentowane zostaną fundamentalne otwarte problemy: istnienie nieokresowych miar Gibbsa i istnienie jednowymiarowych nieergodycznych automatów komórkowych.

Nie zakładamy znajomości fizyki ani matematyki wykraczającej poza wykłady kursowe z dwóch pierwszych lat studiów.

Plan wykładów

1. Dlaczego istnieją magnesy? Model Isinga odziałujących spinów
2. Spontaniczne złamanie symetrii w ferromagnetycznym modelu Isinga
3. Zasady wariacyjne - minimalizacja funkcjonału energii swobodnej
4. Ścisłe rozwiązanie jedno-wymiarowego modelu Isinga.
Przybliżenie pola średniego w dwu-wymiarowym modelu Isinga
5. Uogólnienie modelu Isinga - klasyczne gazy sieciowe
6. Perkolacja
7. Nieokresowe parkietaże - 18 problem Hilberta
8. Mikroskopowe modele kwazikryształów - układy z nieokresowymi stanami okresowymi
9. Nieokresowe miary Gibbsa
10. Symboliczne układy dynamiczne - ciągi Thue-Morse'a i Fibonacciego
11. Teoria ergodyczna układów nieokresowych
12. Topologia układów nieokresowych
13. Jednowymiarowe układy oddziałujących cząstek bez okresowych stanów podstawowych
14. Automaty komórkowe