Rachunek prawdopodobieństwa II 1000-135RP2
Zbieżność rozkładów prawdopodobieństwa. Funkcje charakterystyczne rozkładu prawdopodobieństwa, zastosowanie do obliczania momentów, do znajdywania rozkładów niezależnych zmiennych losowych. Twierdzenie o jednoznaczności. Twierdzenie Levy'ego o równoważności zbieżności rozkładów i punktowej zbieżności funkcji charakterystycznych. Centralne twierdzenie graniczne: de Moivre'a Laplace'a, dla niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie. Wstęp do martyngałów, przykłady, martyngał jako gra "sprawiedliwa'', momenty zatrzymania, tw. Dooba "optional sampling''. Łańcuchy Markowa. Klasyfikacja stanów. Warunki powracalności, twierdzenie ergodyczne.
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2023Z: | W cyklu 2024Z: |
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
Student
1. zna pojęcie zbieżności według rozkładu i różne jego charakteryzacje (m.in. w terminach zbieżności punktowej gęstości, atomów, dystrybuant, itp.). Zna definicję ciasności rodziny rozkładów oraz twierdzenie Prochorowa;
2. zna pojęcie funkcji charakterystycznej rozkładu zmiennej losowej. Potrafi odczytywać z postaci tej funkcji rozmaite własności rozkładu. Potrafi powiązać zbieżność według rozkładu ze zbieżnością punktową funkcji charakterystycznych;
3. zna Centralne Twierdzenie Graniczne (w ogólnej postaci, wykorzystującej warunek Lindeberga) i potrafi wskazać jego użyteczność w zastosowaniach.
Zna oszacowanie na błąd związany z przybliżeniem (twierdzenie Berry-Esseena);
4. zna pojęcie warunkowej wartości oczekiwanej i jego własności. Potrafi zastosować to pojęcie do rozwiązania zagadnienia prognozy;
5. zna pojęcia filtracji i momentu zatrzymania;
6. zna pojęcie martyngału, nadmartyngału i podmartyngału z czasem dyskretnym oraz podstawowe nierówności związane z tymi procesami. Zna
warunki które pociągają za sobą zbieżność prawie na pewno takich procesów. Potrafi scharakteryzować zbieżność martyngałów w L_p;
7. zna pojęcie łańcucha Markowa i pokrewnych obiektów (przestrzeń stanów, macierz przejścia, rozkład początkowy, rozkład stacjonarny, itp.). Potrafi
podać klasyfikację stanów (okresowe, powracające, chwilowe). Zna twierdzenie ergodyczne i jego zastosowania.
Kryteria oceniania
Ocena na podstawie pracy studenta w ciągu semestru i wyniku egzaminu
Literatura
J. Jakubowski i R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT, Warszawa 2001.
P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987.
W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa (t. I i II), PWN, Warszawa 1975 i późniejsze wydania.
A. Borowkow, Rachunek prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 1975.
S. Zubrzycki, Wykłady z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1970.
A. Sziriajew, Wierojatnost, Nauka, Moskwa 1980.